HEDEFLER

• Öğrencinin konuyu anlamasını sağlamak.
• Öğrencinin derste anlamadığı konuları çalışmasını sağlamak.
• Öğrencinin derste gördüğü konuları tekrar etmesini sağlamak.
• Konuları  anlamadığı  takdirde  videolardan  yararlanmasını sağlamak.

KÜMELER

KÜME NEDİR ?

Çeşitli eşyaların,elemanların,nesnelerin bir araya gelmesiyle oluşan gruplar küme olarak adlandırılır. Örneğin, kiraz,erik,elma,portakal elemanlarının olduğu küme meyveler kümesidir.

a elamanı A kümesine ait ise a ∈ A şeklinde yazılır.
“a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur.
a, elemanı A kümesine ait değil ise a ∉ A şeklinde yazılır.
“a, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.

Kümeler genellikle büyük harflerle adlandırılır elemanları ise küçük harflerle adlandırılır.
Kümemiz A ise A kümesinin eleman sayısı s(A) şeklinde gösterilir. Bir kümeye ait olan nesnelerin her biri ait olduğu kümenin bir elemanıdır. Küme içinde bir eleman yalnız bir kez yazılır.

ÖRNEK

“ÇANAKKALE” sözcüğündeki harflerin oluşturduğu küme B ile temsil edilirse B kümesini liste yöntemiyle göstererek eleman sayısını bulalım.


Çözüm: B kümesini önce tırnak ayraç içinde gösterelim:
B = {Ç, A, N, K, L, E} olur.

s(B)=6 olur.

KÜMELERİN GÖSTERİMİ

a. Liste Yöntemi ile Gösterimi
Kümeyi meydana getiren nesneler, { } içerisinde ve aralar›na virgül konularak yazılır. Kümenin bu şekilde gösterilmesine, Liste yöntemi ile gösterimi denir.

ÖRNEK
Alfabemizde ki sesli harflerden oluşan A kümesini liste yöntemi ile yazalım.

A = {a, ›, o, u, e, i, ö, ü} şeklinde yazılır.

b. Venn şeması ile Gösterimi
Kümeyi meydana getiren nesnelerin adları, resimleri ya da simgeleri kapalı bir eğri çizgisinin içine alınır. Kümenin bu şekilde gösterilmesine, Venn şeması ile Gösterimi denir.

ÖRNEK 

c. Ortak Özelik Yöntemi ile Gösterimi

Kümenin elemanları arasında ortak bir özelik varsa, bu özelik belirtilerek küme gösterilebilir.

ÖRNEK

Liste yöntemi ile verilen A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesini ortak özelik yöntemi ile gösterelim.

A kümesinin her bir elemanı doğal sayıdır. Bu sayılar sıfırdan büyük, yediden küçüktür. Bu nedenle bu kümeyi 

A ={x | 0 < x < 7 ve x doğal sayıdır} şeklinde yazılır.

KÜMELERİN KARŞILAŞTIRILMASI

a. Kümenin Eleman Sayısı
Bir kümeye ait eleman sayısına kümenin eleman sayısı denir.

b. Sonlu Kümeler:
Elemanları sayılarak belirtilebilen kümelere sonlu kümeler denir.

c. Sonsuz Kümeler:
Elemanları sayılarak belirtilemeyen veya sayılamayacak kadar çok elemanlı olan
kümelere, sonsuz kümeler denir.

ç. Boş Küme:
Hiçbir elemanı olmayan kümeye, boş küme denir. Boş küme, ∅ ya da { } şeklinde
gösterilir.

d. Eşit Kümeler:
Herhangi iki A ve B kümeleri verilmiş olsun. A kümesinin her elemanı, B
kümesinin de bir elemanıysa ve B kümesinin her elemanı da, A kümesinin bir elemanıysa, A ile B kümeleri eşittir.

e. Denk Kümeler:
Herhangi iki A ve B kümeleri verilmiş olsun. A ve B kümesinin elemanları, bire bir eşlenebiliyorsa bu kümelere, denk kümeler denir.

4. ALT KÜME (KÜME PARÇASI)
a) Alt Küme
Herhangi iki A ve B kümeleri verilmiş olsun. A kümesinin her elemanı B kümesinin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin bir alt kümesi denir. A ⊂ B şeklinde yazılır “A alt küme B” diye okunur.


b. Alt Küme Sayısı
Verilen bir kümenin alt küme sayısını bir örnekle açıklayalım.
ÖRNEK
Verilen A = {1, 2, 3 } kümesinin eleman sayısı s(A) = 3 tür. Bu kümenin alt kümelerini yazalım.
∅, {1 }, { 2}, { 3 }, {1, 2} {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

c. Özalt Küme
Bir kümenin e¤er varsa kendisinden baflka her alt kümesine, bu kümenin bir özalt kümesi denir.
ÖRNEK 
A = {a, b, c } kümesinin özalt kümelerini yazalım.
Tanıma göre, yazmamız gereken kümeler;
∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, (b, c} olur.

e. Kuvvet kümesi
A herhangi bir küme olmak üzere, A kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine, A kümesinin kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.
5. KÜMELERDE İŞLEMLER

Kümelerin Birleşimi
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin bütün elemanlarından
oluşan kümeye, bu iki kümenin birleşimi denir. A ∪ B şeklinde gösterilir. “A birleşim B”
diye okunur.

Kümelerin Kesişimi

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin ortak elemanlarından

oluşan kümeye, bu iki kümenin kesişimi denir. A ∩ B şeklinde gösterilir. “A kesişim B”

diye okunur.

Ayrık Küme

Kesişimleri boş küme olan iki kümeye ayrık kümeler denir. O halde, A ve B kümeleri ayrık kümeler ise A ∩ B = ∅ dir.

Evrensel küme

Elemanları incelenen kümeye göre, yapılması gereken bütün işlemleri içine alabilecek şekilde belirlenen, en geniş kümeye evrensel küme denir.

KONU ANLATIM VİDEOLARI

KAYNAKÇA :
http://www.youtube.com/watch?v=7j5q0B0lQDo
http://www.youtube.com/watch?v=yMXjo1vvlDI

ALIŞTIRMALAR

1) A = { Mart , Mayıs}  ise

A kümesini ortak özellik yöntemi ve venn şeması yöntemiyle gösterin.

2) A = { 3 , 5 , { a, b, c} , 7 , { e , f } , g }

       B = { k, l, m, n, v, y, z}

       C =  { 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , { 20, 22 } , 24 }

ise s(A) , s(B) ve s(C) = ?

3. A = { Emin, Erkut { Esen, Erkan} , Elif ,Ecrin }

ise aşağıdakilerden hangileri doğrudur ?

{ Emin } ⊂ A

s(A) = 6

{ Elif, Ecrin }  ⊂ A

{ Esen, Erkan }  ⊂ A

{ Esen, Erkan } ∈ A

4. A = { 14 den küçük tek doğal sayılar }

       B = { 20 den küçük 3 e tam bölünen sayma sayıları }

Buna göre  s(A ⋂ B) kaçtır ?

5. GÖKHAN kelimesindeki harfler A kümesini, ERKAN kelimesindeki harfler ise B kümesini oluşturuyor. Buna göre s(A ⋃ B) kaçtır ?

6. s(A-B) = 7      s( B-A) = 14 

      s( A ⋃ B) = 30 ise  s(A ⋂ B) kaçtır ?

7. 40 kişilik bir sınıfta öğrencilerin her biri basketbol ve satranç kurslarından en azından birine katılmaktadır. 33 kişi basketbol, 17 kişi de satranç kursuna gittiğine göre , her iki kursa da giden kişi sayısı kaçtır ?

Başarılar :)

Soruları çözmeye çalışmadan cevaplara bakarsanız, kendinizi geliştiremeyeceğinizi unutmayın !!!

ÇÖZÜMLER

    1. A kümesindeki elemanlar M ile başlayan aylardır. Buna göre A kümesini liste yöntemiyle ;
A = { M harfiyle başlayan aylar } olarak gösterebiliriz.

A kümesini venn şemasıyla ;

A
	. Mart
	. Mayıs

Şeklinde gösterebiliriz.

   2. A kümesinin elemanlarını tek tek sayalım;

A = { 3 , 5 , { a, b, c} , 7 , { e , f } , g }

         1   2         3        4       5       6

Buna göre s(A) = 6 dır.

B kümesinin elemanlarını sayalım ;

       B = { k, l, m, n, v, y, z}

                1 2  3  4  5  6  7

Buna göre  s(B) = 7 dir.

C kümesinin elemanlarını sayalım ;

C =  { 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , { 20, 22 } , 24 }

            1    2     3     4     5        6           7

   3.   { Emin } ⊂ A  DOĞRUDUR.
   Çünkü Emin A kümesinin 1 elemanlı alt kümelerindendir.
 NOT : Alt küme gösteriminde eleman { } içinde gösterilmelidir.

s(A) = 6   YANLIŞTIR     s(A) = 5 dir.

{ Emin, Erkut { Esen, Erkan} , Elif ,Ecrin }

     1        2                3              4      5

{ Elif, Ecrin }  ⊂ A   DOĞRUDUR

{ Elif, Ecrin }   A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerindendir.

{ Esen, Erkan }  ⊂ A   YANLIŞTIR

Çünkü elemanın kendisi  { Esen, Erkan }  dir. Bu elemanın alt küme olarak gösterimi ;

{{ Esen, Erkan }}  ⊂ A  olmalıydı.

{ Esen, Erkan } ∈ A   DOĞRUDUR.

   4. A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ,11 , 13 }

       B=  {  3 , 6 , 9 ,12 ,15 ,18 }

(A ⋂ B) =  { 3 , 9 } 

s(A ⋂ B) = 2 dir..

    5.  A = { G, Ö , K , H, A , N }

         B = { E ,  R , K , A , N }

(A ⋃ B) = { G , Ö , K , H , A , N , E , R }

s(A ⋃ B) = 8 dir.

    6.  s( A ⋃ B)  = s(A-B) +  s( B-A) +  s(A ⋂ B) dir.

         Buna göre ;

     30 = 7 + 14 + s (A ⋂ B)

     30 = 21 + s(A ⋂ B)

      s(A ⋂ B) = 9 dur.

7.  s(B⋃S)  = 40 dir.
     s(B)  = 33

      s(S) = 17

      s(B⋃S) =  s(B) + s(S) - s(B ⋂ S)

          40   =     33  +  17  - s(B ⋂ S)

           40 =           50  -   s(B ⋂ S)

         s(B ⋂ S)  = 10